Cálculo Ejemplos

Hallar el valor Máximo/Mínimo f(x)=x^3-9x^2
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
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Paso 1.1
Diferencia.
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Paso 1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2
Evalúa .
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Paso 1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.3
Multiplica por .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
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Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
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Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.3
Multiplica por .
Paso 2.3
Evalúa .
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Paso 2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3.3
Multiplica por .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
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Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 4.1.1
Diferencia.
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Paso 4.1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.2
Evalúa .
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Paso 4.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.2.3
Multiplica por .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Factoriza de .
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Paso 5.2.1
Factoriza de .
Paso 5.2.2
Factoriza de .
Paso 5.2.3
Factoriza de .
Paso 5.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.4
Establece igual a .
Paso 5.5
Establece igual a y resuelve .
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Paso 5.5.1
Establece igual a .
Paso 5.5.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 5.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 9.1
Multiplica por .
Paso 9.2
Resta de .
Paso 10
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 11
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
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Paso 11.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 11.2.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 11.2.1.2
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 11.2.1.3
Multiplica por .
Paso 11.2.2
Suma y .
Paso 11.2.3
La respuesta final es .
Paso 12
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 13
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 13.1
Multiplica por .
Paso 13.2
Resta de .
Paso 14
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 15
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 15.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.2
Simplifica el resultado.
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Paso 15.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 15.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.1.3
Multiplica por .
Paso 15.2.2
Resta de .
Paso 15.2.3
La respuesta final es .
Paso 16
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
es un mínimo local
Paso 17