Cálculo Ejemplos

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$4 x - x^{2} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $4 x - x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$4 u - u^{2} = 0$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $u$ de $4 u - u^{2}$ .

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Paso 1.2.1.2.1

Factoriza $u$ de $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Paso 1.2.1.2.2

Factoriza $u$ de $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Paso 1.2.1.2.3

Factoriza $u$ de $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$x (4 - x) = 0$

Paso 1.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0 + y = 0$

Paso 1.2.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.4

Establece $4 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $4 - x$ igual a $0$ .

$4 - x = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $4 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 1.2.4.2.2

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.4.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.2.4.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 1.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (4 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4$

Paso 1.3

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(4, 0)$

Paso 2

Reordena $4 x$ y $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Paso 3

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Paso 4

Integra para obtener el área entre $1$ y $3$ .

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Paso 4.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x - (0) d x$

Paso 4.2

Resta $0$ de $- x^{2} + 4 x$ .

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x$

Paso 4.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{3} - x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Paso 4.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Paso 4.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Paso 4.6

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Paso 4.7

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 \int_{1}^{3} x d x$

Paso 4.8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Paso 4.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Paso 4.9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.9.2.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $3$ y en $1$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Paso 4.9.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $3$ y en $1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3

Simplifica.

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Paso 4.9.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.2

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 4.9.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.9.2.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.2.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$- (9 - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (9 - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.4

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.5

Combina $9$ y $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.9.2.3.7.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$- \frac{27 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.7.2

Resta $1$ de $27$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 4.9.2.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{9 - 1}{2}$

Paso 4.9.2.3.11

Resta $1$ de $9$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{8}{2})$

Paso 4.9.2.3.12

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 4.9.2.3.12.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Paso 4.9.2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.9.2.3.12.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Paso 4.9.2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 4.9.2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{4}{1})$

Paso 4.9.2.3.12.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \cdot 4$

Paso 4.9.2.3.13

Multiplica $4$ por $4$ .

$- \frac{26}{3} + 16$

Paso 4.9.2.3.14

Para escribir $16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.9.2.3.15

Combina $16$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Paso 4.9.2.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 26 + 16 \cdot 3}{3}$

Paso 4.9.2.3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 4.9.2.3.17.1

Multiplica $16$ por $3$ .

$\frac{- 26 + 48}{3}$

Paso 4.9.2.3.17.2

Suma $- 26$ y $48$ .

$\frac{22}{3}$

Paso 5