Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $y = 0$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $\sqrt{1 - x^{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Simplifica ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Simplifica.

$1 - x^{2} = 0^{2}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve $x$

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Paso 1.2.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 1$

Paso 1.2.3.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Paso 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 1.2.3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 1.2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 1.2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 1.2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 1.3

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

Paso 2

Simplifica $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 3

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x - \int_{- 1}^{1} 0 d x$

Paso 4

Integra para obtener el área entre $- 1$ y $1$ .

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Paso 4.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - (0) d x$

Paso 4.2

Resta $0$ de $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.3

Completa el cuadrado.

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Paso 4.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1.1

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (1 - x) + x (1 - x)$

Paso 4.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Paso 4.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Paso 4.3.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Paso 4.3.1.2.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Paso 4.3.1.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 - x + x + x (- x)$

Paso 4.3.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - x + x - x \cdot x$

Paso 4.3.1.2.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x)$

Paso 4.3.1.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 - x + x - x^{2}$

Paso 4.3.1.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Paso 4.3.1.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$1 - x^{2}$

Paso 4.3.1.3

Reordena $1$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

Paso 4.3.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Paso 4.3.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.3.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.3.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 4.3.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.4.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Paso 4.3.4.2.2

Reescribe $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Paso 4.3.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Paso 4.3.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.3.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.3.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Paso 4.3.5.2.1.3

Divide $0$ por $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Paso 4.3.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = 1 + 0$

Paso 4.3.5.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$e = 1$

Paso 4.3.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1} d x$

Paso 4.4

Sea $u_{1} = x + 0$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.4.1

Deja $u_{1} = x + 0$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.4.1.1

Diferencia $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Paso 4.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 0$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Paso 4.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Paso 4.4.1.4

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 1 + 0$

Paso 4.4.3

Suma $- 1$ y $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 4.4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Paso 4.4.5

Suma $1$ y $0$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 4.4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Paso 4.4.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

Paso 4.5

Sea $u_{1} = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

Paso 4.6

Simplifica los términos.

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Paso 4.6.1

Simplifica $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ .

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Paso 4.6.1.1

Reordena $- \sin^{2} (t)$ y $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 4.6.1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 4.6.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 4.6.2

Simplifica.

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Paso 4.6.2.1

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Paso 4.6.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Paso 4.6.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 4.6.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Paso 4.7

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 4.8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 4.9

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 4.10

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 4.11

Sea $u_{2} = 2 t$ . Entonces $d u_{2} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.11.1

Deja $u_{2} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 4.11.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 4.11.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.11.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4.11.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Paso 4.11.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.11.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Paso 4.11.3.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Paso 4.11.3.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = - π$

Paso 4.11.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 4.11.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.11.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 4.11.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 4.11.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Paso 4.11.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 4.12

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 4.13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 4.14

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Paso 4.15

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.15.1

Evalúa $t$ en $\frac{π}{2}$ y en $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Paso 4.15.2

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $π$ y en $- π$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Paso 4.15.3

Simplifica.

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Paso 4.15.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Paso 4.15.3.2

Suma $π$ y $π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Paso 4.15.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.15.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Paso 4.15.3.3.2

Divide $π$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Paso 4.16

Simplifica.

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Paso 4.16.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.16.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.16.1.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Paso 4.16.1.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Paso 4.16.1.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Paso 4.16.1.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Paso 4.16.1.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Paso 4.16.1.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Paso 4.16.1.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (π + 0)$

Paso 4.16.2

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{1}{2} π$

Paso 4.16.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $π$ .

$\frac{π}{2}$

Paso 5