Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{20 x - x^{2} - 19}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Paso 1.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 20 x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Paso 1.3.2

Mueve el término $20$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Paso 1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Paso 1.3.4

Evalúa el límite de $19$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 19}$

Paso 1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{20 \cdot 1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 19}$

Paso 1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{20 \cdot 1 - 1^{2} - 1 \cdot 19}$

Paso 1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.6.1.1

Multiplica $20$ por $1$ .

$\frac{0}{20 - 1^{2} - 1 \cdot 19}$

Paso 1.3.6.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{20 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 19}$

Paso 1.3.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{20 - 1 - 1 \cdot 19}$

Paso 1.3.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $19$ .

$\frac{0}{20 - 1 - 19}$

Paso 1.3.6.2

Resta $1$ de $20$ .

$\frac{0}{19 - 19}$

Paso 1.3.6.3

Resta $19$ de $19$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.6.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{20 x - x^{2} - 19} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x - x^{2} - 19$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $20$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Paso 3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 3.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Paso 3.5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Paso 3.6

Como $- 19$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 19$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x + 0}$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Suma $20 - 2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x}$

Paso 3.7.2

Reordena los términos.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 x + 20}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 x + 20}$

Paso 5

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{- 2 x + 20}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (- 2 x + 20)}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 20)}$

Paso 7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 20)}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} - 2 x + 20}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 20)}$

Paso 10

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 20)}$

Paso 11

Evalúa el límite de $20$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 20)}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 20)}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 20)}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 13.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 20)}$

Paso 13.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 2 \cdot 1 + 20}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{- 2 + 20}$

Paso 13.2.2

Suma $- 2$ y $20$ .

$\frac{1}{18}$