Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} - 4}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 4^{x} - 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 4^{x} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{4^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.1.3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{4^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{4^{1} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Evalúa el exponente.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} - 4}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4^{x} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.5

Suma $4^{x} \ln (4)$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x + 0}$

Paso 3.9

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{\ln (4)}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} lim_{x \to 1} \frac{4^{x}}{x}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 4^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 6

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{1}}{1}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combinar.

$\frac{\ln (4) \cdot 4^{1}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2

Evalúa el exponente.

$\frac{\ln (4) \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 8.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\ln (4) \cdot 4}{2}$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 8.4.1

Factoriza $2$ de $\ln (4) \cdot 4$ .

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2}$

Paso 8.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2 (1)}$

Paso 8.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (4) \cdot 2}{1}$

Paso 8.4.2.4

Divide $\ln (4) \cdot 2$ por $1$ .

$\ln (4) \cdot 2$

Paso 8.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (4)$ .

$2 \ln (4)$