Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\sin (6 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Paso 1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (6 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (6 \cdot 0)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\sin (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Paso 3.5

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]}$

Paso 3.6.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Paso 3.7

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) (6 \cdot 1)}$

Paso 3.9

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) \cdot 6}$

Paso 3.10

Mueve $6$ a la izquierda de $\cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{6 \cdot \cos (6 x)}$

Paso 3.11

Multiplica $6$ por $\cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{6 \cos (6 x)}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{6}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Paso 6

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Paso 7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Paso 8

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{\cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{0}}{\cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{0}}{\cos (6 \cdot 0)}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Combinar.

$\frac{1 e^{0}}{6 \cos (6 \cdot 0)}$

Paso 10.2

Multiplica $e^{0}$ por $1$ .

$\frac{e^{0}}{6 \cos (6 \cdot 0)}$

Paso 10.3

Simplifica el denominador.

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Paso 10.3.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{e^{0}}{6 \cos (0)}$

Paso 10.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{e^{0}}{6 \cdot 1}$

Paso 10.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{6 \cdot 1}$

Paso 10.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{1}{6}$