Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} - x$

Paso 1

Multiplica para racionalizar el numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Expande el numerador con el método PEIU (primero, exterior, interior, último).

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

Paso 2.2.2

Suma $8 x + 1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

Paso 3

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4.1.2

Divide $8$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{8 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{8 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{8 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{8 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6.5

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + 1}$

Paso 9.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.2.1

Suma $8$ y $0$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + 1}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1}$

Paso 9.2.2.2

Suma $1 + 0$ y $0$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Paso 9.2.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{8}{\sqrt{1} + 1}$

Paso 9.2.2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{8}{1 + 1}$

Paso 9.2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8}{2}$

Paso 9.2.3

Divide $8$ por $2$ .

$4$