Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} - x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x - (3 x^{2})$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$4 x - 3 x^{2}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 4 x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{2} + 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 x + 4 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 4$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 6 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 6 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 6 + 0$

Paso 3.3.2

Suma $- 6$ y $0$ .

$f''' (x) = - 6$

Paso 4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$