Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x^{2} + 9)}^{6}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 9$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 1.2.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} (2 x + 0)$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} (2 x)$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{5} x$

Paso 1.2.4.3

Reordena los factores de $12 {(x^{2} + 9)}^{5} x$ .

$f' (x) = 12 x {(x^{2} + 9)}^{5}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x {(x^{2} + 9)}^{5}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{5}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{5}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{5}$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{5}] + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 9$ .

$12 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$12 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 9$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} (2 x)) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$12 (x (10 {(x^{2} + 9)}^{4} x) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$12 (x^{1} x (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$12 (x^{1} x^{1} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 (x^{1 + 1} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \cdot 1)$

Paso 2.10

Multiplica ${(x^{2} + 9)}^{5}$ por $1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5})$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 9)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 9)}^{5}$

Paso 2.11.2

Multiplica $10$ por $12$ .

$120 (x^{2} ({(x^{2} + 9)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 9)}^{5}$

Paso 2.11.3

Factoriza $12 {(x^{2} + 9)}^{4}$ de $120 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{4} + 12 {(x^{2} + 9)}^{5}$ .

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Paso 2.11.3.1

Factoriza $12 {(x^{2} + 9)}^{4}$ de $120 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{4}$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 9)}^{5}$

Paso 2.11.3.2

Factoriza $12 {(x^{2} + 9)}^{4}$ de $12 {(x^{2} + 9)}^{5}$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 9)}^{4} (x^{2} + 9)$

Paso 2.11.3.3

Factoriza $12 {(x^{2} + 9)}^{4}$ de $12 {(x^{2} + 9)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 9)}^{4} (x^{2} + 9)$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{4} (10 x^{2} + x^{2} + 9)$

Paso 2.11.4

Suma $10 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 {(x^{2} + 9)}^{4} (11 x^{2} + 9)$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 {(x^{2} + 9)}^{4} (11 x^{2} + 9)$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{4} (11 x^{2} + 9)$