Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x} + \sqrt[5]{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} + \sqrt[5]{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt{x}) + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Paso 1.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$ .

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Paso 1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Paso 1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}$

Paso 1.3.6.2

Resta $5$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.4.3

Combina los términos.

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Paso 1.4.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.4.3.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.12

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.13

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.13.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.13.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.13.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.13.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.13.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.13.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.14

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.15

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.2.16

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}})$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ como ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1})$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{4}{5}}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}}))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- {(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- {(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{\frac{4}{5} \cdot - 2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $\frac{4}{5}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{\frac{- 8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Paso 2.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Paso 2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Paso 2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Paso 2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Paso 2.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}))$

Paso 2.3.9.2

Resta $5$ de $4$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}))$

Paso 2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}))$

Paso 2.3.11

Combina $\frac{4}{5}$ y $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5})$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ y $x^{- \frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{- \frac{1}{5}} x^{- \frac{8}{5}}}{5})$

Paso 2.3.13

Multiplica $x^{- \frac{1}{5}}$ por $x^{- \frac{8}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.13.1

Mueve $x^{- \frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{5}} x^{- \frac{1}{5}})}{5})$

Paso 2.3.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{- \frac{8}{5} - \frac{1}{5}}}{5})$

Paso 2.3.13.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{\frac{- 8 - 1}{5}}}{5})$

Paso 2.3.13.4

Resta $1$ de $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{\frac{- 9}{5}}}{5})$

Paso 2.3.13.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{- \frac{9}{5}}}{5})$

Paso 2.3.14

Mueve $x^{- \frac{9}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5 x^{\frac{9}{5}}})$

Paso 2.3.15

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{4}{5 x^{\frac{9}{5}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{5 (5 x^{\frac{9}{5}})}$

Paso 2.3.16

Multiplica $5$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$