Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 3$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - (x - 3) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - (x - 3)}{x^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - x - - 3}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - - 3}{x^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Resta $- 3$ de $0$ .

$\frac{- - 3}{x^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$3 (- 2 x^{- 3})$

Paso 2.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- 6 x^{- 3}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 6}{x^{3}}$

Paso 2.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{3}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{6}{x^{3}}$ .

$- \frac{6}{x^{3}}$