Cálculo Ejemplos

$\frac{6}{x^{2} - 16}$

Paso 1

Escribe $\frac{6}{x^{2} - 16}$ como una función.

$f (x) = \frac{6}{x^{2} - 16}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6}{x^{2} - 16}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 16})$

Paso 2.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 16}$ como ${(x^{2} - 16)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 16)}^{- 1})$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 6 (- {(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f' (x) = - 6 ({(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Paso 2.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))$

Paso 2.1.3.4

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + 0)$

Paso 2.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x)$

Paso 2.1.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = - 12 {(x^{2} - 16)}^{- 2} x$

Paso 2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 12 \frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Paso 2.1.5

Combina los términos.

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Paso 2.1.5.1

Combina $- 12$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Paso 2.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Paso 2.1.5.3

Combina $x$ y $\frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 2.1.5.4

Mueve $12$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$12 x = 0$

Paso 3.3

Divide cada término en $12 x = 0$ por $12$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $12 x = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $0$ por $12$ .

$x = 0$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{2} - 16)}^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

${(x^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Paso 5.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

${((x + 4) (x - 4))}^{2} = 0$

Paso 5.2.1.3

Aplica la regla del producto a $(x + 4) (x - 4)$ .

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 5.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 5.2.3

Establece ${(x + 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.2.3.1

Establece ${(x + 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Paso 5.2.3.2

Resuelve ${(x + 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 5.2.3.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 5.2.4

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.2.4.1

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 5.2.4.2

Resuelve ${(x - 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 4, 4$

Paso 5.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f' (- 5) = - \frac{12 (- 5)}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $12$ por $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{(25 - 16)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Resta $16$ de $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{9^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{81}$

Paso 7.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común de $- 60$ y $81$ .

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Paso 7.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $- 60$ .

$f' (- 5) = - \frac{3 (- 20)}{81}$

Paso 7.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

Paso 7.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 5) = - \frac{- 20}{27}$

Paso 7.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 5) = \frac{20}{27}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $\frac{20}{27}$ .

$\frac{20}{27}$

Paso 7.3

En $x = - 5$ la derivada es $\frac{20}{27}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 4)$ .

Incremento en $(- \infty, - 4)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 4, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - \frac{12 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Multiplica $12$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(4 - 16)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Resta $16$ de $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(- 12)}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{144}$

Paso 8.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.2.3.1

Cancela el factor común de $- 24$ y $144$ .

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Paso 8.2.3.1.1

Factoriza $24$ de $- 24$ .

$f' (- 2) = - \frac{24 (- 1)}{144}$

Paso 8.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.1.2.1

Factoriza $24$ de $144$ .

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

Paso 8.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

Paso 8.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{6}$

Paso 8.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = \frac{1}{6}$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 8.3

En $x = - 2$ la derivada es $\frac{1}{6}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 4, 0)$ .

Incremento en $(- 4, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(0, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - \frac{12 (2)}{{({(2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Multiplica $12$ por $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(2^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(4 - 16)}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Resta $16$ de $4$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(- 12)}^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{144}$

Paso 9.2.3

Cancela el factor común de $24$ y $144$ .

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Paso 9.2.3.1

Factoriza $24$ de $24$ .

$f' (2) = - \frac{24 (1)}{144}$

Paso 9.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.2.1

Factoriza $24$ de $144$ .

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

Paso 9.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

Paso 9.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (2) = - \frac{1}{6}$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Paso 9.3

En $x = 2$ la derivada es $- \frac{1}{6}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 4)$ .

Decrecimiento en $(0, 4)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = - \frac{12 (5)}{{({(5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Multiplica $12$ por $5$ .

$f' (5) = - \frac{60}{{(5^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = - \frac{60}{{(25 - 16)}^{2}}$

Paso 10.2.2.2

Resta $16$ de $25$ .

$f' (5) = - \frac{60}{9^{2}}$

Paso 10.2.2.3

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = - \frac{60}{81}$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común de $60$ y $81$ .

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Paso 10.2.3.1

Factoriza $3$ de $60$ .

$f' (5) = - \frac{3 (20)}{81}$

Paso 10.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

Paso 10.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

Paso 10.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (5) = - \frac{20}{27}$

Paso 10.2.4

La respuesta final es $- \frac{20}{27}$ .

$- \frac{20}{27}$

Paso 10.3

En $x = 5$ la derivada es $- \frac{20}{27}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(4, \infty)$ .

Decrecimiento en $(4, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 11

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

Decrecimiento en: $(0, 4), (4, \infty)$

Paso 12