Cálculo Ejemplos

$\frac{x - 3}{x + 4}$

Paso 1

Escribe $\frac{x - 3}{x + 4}$ como una función.

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 3$ y $g (x) = x + 4$ .

$\frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 4) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.2

Multiplica $x + 4$ por $1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.2.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3)}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 4 - x - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.2.1

Combina los términos opuestos en $x + 4 - x - - 3$ .

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Paso 2.1.3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.1.2

Suma $0$ y $4$ .

$\frac{4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{4 + 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.3

Suma $4$ y $3$ .

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$7 = 0$

Paso 3.3

Como $7 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 5.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 6

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ .

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f' (- 5) = \frac{7}{{((- 5) + 4)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1

Suma $- 5$ y $4$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{1}$

Paso 7.2.2

Divide $7$ por $1$ .

$f' (- 5) = 7$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $7$ .

$7$

Paso 7.3

En $x = - 5$ la derivada es $7$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 4)$ .

Incremento en $(- \infty, - 4)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = \frac{7}{{((- 3) + 4)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1.1

Suma $- 3$ y $4$ .

$f' (- 3) = \frac{7}{1^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- 3) = \frac{7}{1}$

Paso 8.2.2

Divide $7$ por $1$ .

$f' (- 3) = 7$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $7$ .

$7$

Paso 8.3

En $x = - 3$ la derivada es $7$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 4, \infty)$ .

Incremento en $(- 4, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 4), (- 4, \infty)$

Paso 10