Cálculo Ejemplos

$x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$

Paso 1

Escribe $x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$ como una función.

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 63 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 63 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 63$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 63 x$ con respecto a $x$ es $- 63 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 63 \frac{d}{d x} x$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 63 \cdot 1$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 63$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 63$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 12 x - 63$ .

$3 x^{2} - 12 x - 63$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 12 x - 63 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x - 63 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 12 x - 63$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 63 = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 63 = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $3$ de $- 63$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 21 = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 21 = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 21$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 21) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 4 x - 21$ con el método AC.

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Paso 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 21$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 7, 3$

Paso 3.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$3 ((x - 7) (x + 3)) = 0$

Paso 3.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (x - 7) (x + 3) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 3.4

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 3.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (x - 7) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 7, - 3$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $7, - 3$ .

$7, - 3$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4 - 63$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot - 4 - 63$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 12 \cdot - 4 - 63$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = 48 + 48 - 63$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Suma $48$ y $48$ .

$f' (- 4) = 96 - 63$

Paso 6.2.2.2

Resta $63$ de $96$ .

$f' (- 4) = 33$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $33$ .

$33$

Paso 6.3

En $x = - 4$ la derivada es $33$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 3)$ .

Incremento en $(- \infty, - 3)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 7)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 - 63$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 - 63$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 - 63$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$f' (2) = 12 - 24 - 63$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 7.2.2.1

Resta $24$ de $12$ .

$f' (2) = - 12 - 63$

Paso 7.2.2.2

Resta $63$ de $- 12$ .

$f' (2) = - 75$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 75$ .

$- 75$

Paso 7.3

En $x = 2$ la derivada es $- 75$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 3, 7)$ .

Decrecimiento en $(- 3, 7)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(7, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f' (8) = 3 {(8)}^{2} - 12 \cdot 8 - 63$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f' (8) = 3 \cdot 64 - 12 \cdot 8 - 63$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $3$ por $64$ .

$f' (8) = 192 - 12 \cdot 8 - 63$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $8$ .

$f' (8) = 192 - 96 - 63$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 8.2.2.1

Resta $96$ de $192$ .

$f' (8) = 96 - 63$

Paso 8.2.2.2

Resta $63$ de $96$ .

$f' (8) = 33$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $33$ .

$33$

Paso 8.3

En $x = 8$ la derivada es $33$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(7, \infty)$ .

Incremento en $(7, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 3), (7, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 3, 7)$

Paso 10