Cálculo Ejemplos

$x + \frac{6}{x}$

Paso 1

Escribe $x + \frac{6}{x}$ como una función.

$f (x) = x + \frac{6}{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{6}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{x})$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{6}{x})$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6}{x}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 1 + 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 2.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 6 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 6 (- x^{- 2})$

Paso 2.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f' (x) = 1 - 6 x^{- 2}$

Paso 2.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 6 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Combina los términos.

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Paso 2.1.4.1.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 6}{x^{2}}$

Paso 2.1.4.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 1 - \frac{6}{x^{2}}$

Paso 2.1.4.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{6}{x^{2}} + 1$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{6}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{6}{x^{2}} + 1$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{6}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{6}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{6}{x^{2}} = - 1$

Paso 3.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 3.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 3.4

Multiplica cada término en $- \frac{6}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{6}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$- \frac{6}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{6}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 6}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 6}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 3.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 6 = - x^{2}$

Paso 3.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $- x^{2} = - 6$ .

$- x^{2} = - 6$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 6$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 3.5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Divide $- 6$ por $- 1$ .

$x^{2} = 6$

Paso 3.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Paso 3.5.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{6}$

Paso 3.5.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{6}$

Paso 3.5.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\sqrt{6}, - \sqrt{6}$ .

$\sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{6}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \sqrt{6})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.4494898$ en la expresión.

$f' (- 3.4494898) = - \frac{6}{{(- 3.4494898)}^{2}} + 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 3.4494898$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3.4494898) = - \frac{6}{11.89897988} + 1$

Paso 7.2.1.2

Divide $6$ por $11.89897988$ .

$f' (- 3.4494898) = - 1 \cdot 0.5042449 + 1$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0.5042449$ .

$f' (- 3.4494898) = - 0.5042449 + 1$

Paso 7.2.2

Suma $- 0.5042449$ y $1$ .

$f' (- 3.4494898) = 0.49575509$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.49575509$ .

$0.49575509$

Paso 7.3

En $x = - 3.4494898$ la derivada es $0.49575509$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - \sqrt{6})$ .

Incremento en $(- \infty, - \sqrt{6})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 2.4494898, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.2247449$ en la expresión.

$f' (- 1.2247449) = - \frac{6}{{(- 1.2247449)}^{2}} + 1$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $- 1.2247449$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.2247449) = - \frac{6}{1.50000007} + 1$

Paso 8.2.1.2

Divide $6$ por $1.50000007$ .

$f' (- 1.2247449) = - 1 \cdot 3.99999981 + 1$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $3.99999981$ .

$f' (- 1.2247449) = - 3.99999981 + 1$

Paso 8.2.2

Suma $- 3.99999981$ y $1$ .

$f' (- 1.2247449) = - 2.99999981$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 2.99999981$ .

$- 2.99999981$

Paso 8.3

En $x = - 1.2247449$ la derivada es $- 2.99999981$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 2.4494898, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \sqrt{6}, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(0, \sqrt{6})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.2247449$ en la expresión.

$f' (1.2247449) = - \frac{6}{{(1.2247449)}^{2}} + 1$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Eleva $1.2247449$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.2247449) = - \frac{6}{1.50000007} + 1$

Paso 9.2.1.2

Divide $6$ por $1.50000007$ .

$f' (1.2247449) = - 1 \cdot 3.99999981 + 1$

Paso 9.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $3.99999981$ .

$f' (1.2247449) = - 3.99999981 + 1$

Paso 9.2.2

Suma $- 3.99999981$ y $1$ .

$f' (1.2247449) = - 2.99999981$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $- 2.99999981$ .

$- 2.99999981$

Paso 9.3

En $x = 1.2247449$ la derivada es $- 2.99999981$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \sqrt{6})$ .

Decrecimiento en $(0, \sqrt{6})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(\sqrt{6}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.4494898$ en la expresión.

$f' (3.4494898) = - \frac{6}{{(3.4494898)}^{2}} + 1$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1

Eleva $3.4494898$ a la potencia de $2$ .

$f' (3.4494898) = - \frac{6}{11.89897988} + 1$

Paso 10.2.1.2

Divide $6$ por $11.89897988$ .

$f' (3.4494898) = - 1 \cdot 0.5042449 + 1$

Paso 10.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0.5042449$ .

$f' (3.4494898) = - 0.5042449 + 1$

Paso 10.2.2

Suma $- 0.5042449$ y $1$ .

$f' (3.4494898) = 0.49575509$

Paso 10.2.3

La respuesta final es $0.49575509$ .

$0.49575509$

Paso 10.3

En $x = 3.4494898$ la derivada es $0.49575509$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\sqrt{6}, \infty)$ .

Incremento en $(\sqrt{6}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 11

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - \sqrt{6}), (\sqrt{6}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \sqrt{6}, 0), (0, \sqrt{6})$

Paso 12