Cálculo Ejemplos

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Paso 1

Escribe $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ como una función.

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $48$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $- 64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 64 x$ con respecto a $x$ es $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} x$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $4$ de $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $4$ de $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $4$ de $- 64$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $4$ de $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Paso 3.2.1.6

Factoriza $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Paso 3.2.1.7

Factoriza $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 3.2.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 3.2.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Paso 3.2.2.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.2.2.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Paso 3.2.2.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Paso 3.2.2.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Paso 3.2.2.3.4

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Paso 3.2.2.3.5

Resta $9$ de $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Paso 3.2.2.3.6

Multiplica $24$ por $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Paso 3.2.2.3.7

Suma $- 8$ y $24$ .

$16 - 16$

Paso 3.2.2.3.8

Resta $16$ de $16$ .

$0$

Paso 3.2.2.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Paso 3.2.2.5

Divide $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ por $x - 1$ .

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Paso 3.2.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Paso 3.2.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Paso 3.2.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 3.2.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 3.2.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Paso 3.2.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Paso 3.2.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 8 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Paso 3.2.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Paso 3.2.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 8 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Paso 3.2.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Paso 3.2.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Paso 3.2.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $16 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Paso 3.2.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Paso 3.2.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $16 x - 16$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Paso 3.2.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Paso 3.2.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 8 x + 16$

Paso 3.2.2.6

Escribe $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ como un conjunto de factores.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza.

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Paso 3.2.3.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.2.3.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Paso 3.2.3.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 3.2.3.1.3

Reescribe el polinomio.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Paso 3.2.3.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Paso 3.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 3.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.5

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve ${(x - 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 3.5.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 1, 4$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1, 4$ .

$1, 4$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Paso 6.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 36$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $96$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

Paso 6.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f' (0) = 0 - 64$

Paso 6.2.2.3

Resta $64$ de $0$ .

$f' (0) = - 64$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 64$ .

$- 64$

Paso 6.3

En $x = 0$ la derivada es $- 64$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 {(\frac{5}{2})}^{3} - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{5^{3}}{2^{3}}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{2^{3}}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{8}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 (2)}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 \cdot 2}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.6

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 \frac{25}{2^{2}} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 (\frac{25}{4}) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.8

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.8.1

Factoriza $4$ de $- 36$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 4 (- 9) (\frac{25}{4}) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 4 \cdot (- 9 (\frac{25}{4})) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 9 \cdot 25 + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.9

Multiplica $- 9$ por $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.10.1

Factoriza $2$ de $96$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 2 (48) (\frac{5}{2}) - 64$

Paso 7.2.1.10.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 2 \cdot (48 (\frac{5}{2})) - 64$

Paso 7.2.1.10.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 48 \cdot 5 - 64$

Paso 7.2.1.11

Multiplica $48$ por $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 240 - 64$

Paso 7.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 7.2.2.1

Escribe $- 225$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225}{1} + 240 - 64$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $\frac{- 225}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225}{1} \cdot \frac{2}{2} + 240 - 64$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $\frac{- 225}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + 240 - 64$

Paso 7.2.2.4

Escribe $240$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240}{1} - 64$

Paso 7.2.2.5

Multiplica $\frac{240}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240}{1} \cdot \frac{2}{2} - 64$

Paso 7.2.2.6

Multiplica $\frac{240}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} - 64$

Paso 7.2.2.7

Escribe $- 64$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64}{1}$

Paso 7.2.2.8

Multiplica $\frac{- 64}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.2.2.9

Multiplica $\frac{- 64}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 225 \cdot 2 + 240 \cdot 2 - 64 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $- 225$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 240 \cdot 2 - 64 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $240$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 480 - 64 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.4.3

Multiplica $- 64$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 480 - 128}{2}$

Paso 7.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.5.1

Resta $450$ de $125$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 325 + 480 - 128}{2}$

Paso 7.2.5.2

Suma $- 325$ y $480$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{155 - 128}{2}$

Paso 7.2.5.3

Resta $128$ de $155$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{27}{2}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $\frac{27}{2}$ .

$\frac{27}{2}$

Paso 7.3

En $x = \frac{5}{2}$ la derivada es $\frac{27}{2}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, 4)$ .

Incremento en $(1, 4)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = 4 {(5)}^{3} - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f' (5) = 4 \cdot 125 - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $4$ por $125$ .

$f' (5) = 500 - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Paso 8.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = 500 - 36 \cdot 25 + 96 (5) - 64$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 36$ por $25$ .

$f' (5) = 500 - 900 + 96 (5) - 64$

Paso 8.2.1.5

Multiplica $96$ por $5$ .

$f' (5) = 500 - 900 + 480 - 64$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 8.2.2.1

Resta $900$ de $500$ .

$f' (5) = - 400 + 480 - 64$

Paso 8.2.2.2

Suma $- 400$ y $480$ .

$f' (5) = 80 - 64$

Paso 8.2.2.3

Resta $64$ de $80$ .

$f' (5) = 16$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $16$ .

$16$

Paso 8.3

En $x = 5$ la derivada es $16$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(4, \infty)$ .

Incremento en $(4, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(1, 4), (4, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 1)$

Paso 10