Cálculo Ejemplos

$- x^{3} + 6 x^{2} - 18$

Paso 1

Escribe $- x^{3} + 6 x^{2} - 18$ como una función.

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 18$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} + 6 x^{2} - 18$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 18]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $- 3 x^{2} + 12 x$ y $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 x^{2} + 12 x$ .

$- 3 x^{2} + 12 x$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 x^{2} + 12 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{2} + 12 x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 12 x = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $- 3 x$ de $12 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 4 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x (x) - 3 x (- 4)$ .

$- 3 x (x - 4) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 3 x (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 4$ .

$0, 4$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - 3 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 3 + 12 (- 1)$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 - 12$

Paso 6.2.2

Resta $12$ de $- 3$ .

$f' (- 1) = - 15$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 15$ .

$- 15$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 15$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - 3 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 4 + 12 (2)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f' (2) = - 12 + 12 (2)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $12$ por $2$ .

$f' (2) = - 12 + 24$

Paso 7.2.2

Suma $- 12$ y $24$ .

$f' (2) = 12$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $12$ .

$12$

Paso 7.3

En $x = 2$ la derivada es $12$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 4)$ .

Incremento en $(0, 4)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = - 3 {(5)}^{2} + 12 (5)$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = - 3 \cdot 25 + 12 (5)$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $25$ .

$f' (5) = - 75 + 12 (5)$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $12$ por $5$ .

$f' (5) = - 75 + 60$

Paso 8.2.2

Suma $- 75$ y $60$ .

$f' (5) = - 15$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 15$ .

$- 15$

Paso 8.3

En $x = 5$ la derivada es $- 15$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(4, \infty)$ .

Decrecimiento en $(4, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, 4)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (4, \infty)$

Paso 10