Cálculo Ejemplos

$- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24$

Paso 1

Establece $- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24$ igual a $0$ .

$- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{3}$ .

$3 (- x^{3}) + 21 x^{2} - 42 x + 24 = 0$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $3$ de $21 x^{2}$ .

$3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2}) - 42 x + 24 = 0$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $3$ de $- 42 x$ .

$3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 24 = 0$

Paso 2.1.1.4

Factoriza $3$ de $24$ .

$3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 3 (8) = 0$

Paso 2.1.1.5

Factoriza $3$ de $3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2})$ .

$3 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 3 (8) = 0$

Paso 2.1.1.6

Factoriza $3$ de $3 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (- 14 x)$ .

$3 (- x^{3} + 7 x^{2} - 14 x) + 3 (8) = 0$

Paso 2.1.1.7

Factoriza $3$ de $3 (- x^{3} + 7 x^{2} - 14 x) + 3 (8)$ .

$3 (- x^{3} + 7 x^{2} - 14 x + 8) = 0$

Paso 2.1.2

Reagrupa los términos.

$3 (- x^{3} + 8 + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- x^{3} + 8$ .

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$3 (- (x^{3}) + 8 + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Paso 2.1.3.2

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$3 (- (x^{3}) - 1 \cdot - 8 + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Paso 2.1.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - 1 (- 8)$ .

$3 (- (x^{3} - 8) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$3 (- (x^{3} - 2^{3}) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Paso 2.1.5

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$3 (- ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza.

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Paso 2.1.6.1

Simplifica.

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Paso 2.1.6.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$3 (- ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Paso 2.1.6.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$3 (- ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Paso 2.1.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $7 x$ de $7 x^{2} - 14 x$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $7 x$ de $7 x^{2}$ .

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x) - 14 x) = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $7 x$ de $- 14 x$ .

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x) + 7 x (- 2)) = 0$

Paso 2.1.7.3

Factoriza $7 x$ de $7 x (x) + 7 x (- 2)$ .

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x - 2)) = 0$

Paso 2.1.8

Factoriza $x - 2$ de $- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x - 2)$ .

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Paso 2.1.8.1

Factoriza $x - 2$ de $- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$3 ((x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + 7 x (x - 2)) = 0$

Paso 2.1.8.2

Factoriza $x - 2$ de $7 x (x - 2)$ .

$3 ((x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (7 x)) = 0$

Paso 2.1.8.3

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (7 x)$ .

$3 ((x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x)) = 0$

Paso 2.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$3 ((x - 2) (- 1 x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 4 + 7 x)) = 0$

Paso 2.1.10

Simplifica.

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Paso 2.1.10.1

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 4 + 7 x)) = 0$

Paso 2.1.10.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} - 2 x - 1 \cdot 4 + 7 x)) = 0$

Paso 2.1.10.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} - 2 x - 4 + 7 x)) = 0$

Paso 2.1.11

Suma $- 2 x$ y $7 x$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} + 5 x - 4)) = 0$

Paso 2.1.12

Factoriza.

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Paso 2.1.12.1

Factoriza.

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Paso 2.1.12.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.12.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 2.1.12.1.1.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} + 5 (x) - 4)) = 0$

Paso 2.1.12.1.1.1.2

Reescribe $5$ como $1$ más $4$

$3 ((x - 2) (- x^{2} + (1 + 4) x - 4)) = 0$

Paso 2.1.12.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 ((x - 2) (- x^{2} + 1 x + 4 x - 4)) = 0$

Paso 2.1.12.1.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} + x + 4 x - 4)) = 0$

Paso 2.1.12.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.12.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$3 ((x - 2) ((- x^{2} + x) + 4 x - 4)) = 0$

Paso 2.1.12.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 ((x - 2) (x (- x + 1) - 4 (- x + 1))) = 0$

Paso 2.1.12.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 1$ .

$3 ((x - 2) ((- x + 1) (x - 4))) = 0$

Paso 2.1.12.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 ((x - 2) (- x + 1) (x - 4)) = 0$

Paso 2.1.12.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (x - 2) (- x + 1) (x - 4) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$- x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.4

Establece $- x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $- x + 1$ igual a $0$ .

$- x + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $- x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (x - 2) (- x + 1) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, 1, 4$

Paso 3