Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.1.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.3.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Paso 1.1.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x \ln (x) + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.2.5

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.2.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.6.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.2.7

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Paso 1.1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Paso 1.1.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.2.4.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Paso 1.1.2.4.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Paso 1.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \ln (x) = - 3$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $2 \ln (x) = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $2 \ln (x) = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Paso 1.2.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Paso 1.2.5

Reescribe $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Paso 1.2.6

Resuelve $x$

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Paso 1.2.6.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Paso 1.2.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x > 0$

Paso 2.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.11$ en la expresión.

$f'' (0.11) = 2 \ln (0.11) + 3$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Simplifica $2 \ln (0.11)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f'' (0.11) = \ln ({0.11}^{2}) + 3$

Paso 4.2.1.2

Eleva $0.11$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.11) = \ln (0.0121) + 3$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $\ln (0.0121) + 3$ .

$\ln (0.0121) + 3$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ porque $f'' (0.11)$ es negativa.

Cóncavo en $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = 2 \ln (3) + 3$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $2 \ln (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f'' (3) = \ln (3^{2}) + 3$

Paso 5.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3) = \ln (9) + 3$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $\ln (9) + 3$ .

$\ln (9) + 3$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ porque $f'' (3)$ es positiva.

Convexo en $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7