Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} - 25}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x}{x^{2} - 25}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 25}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 25})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 25$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3.2

Multiplica $x^{2} - 25$ por $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3.5

Como $- 25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Paso 1.1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Paso 1.1.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Paso 1.1.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Paso 1.1.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Paso 1.1.1.8

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Paso 1.1.1.9

Combina $4$ y $\frac{- x^{2} - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 1.1.1.10

Simplifica.

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Paso 1.1.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 1.1.1.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 1.1.1.10.2.2

Multiplica $4$ por $- 25$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 100}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 100) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{({(x^{2} - 25)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 25)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 100) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 100) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x^{2} - 100$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 100)) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 100)) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 100)) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (- 100)) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2.6

Como $- 100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 100$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2.7

Suma $- 8 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 100) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 100) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 100) (2 (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia.

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Paso 1.1.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25)))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) (2 x + \frac{d}{d x} (- 25)))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.4

Como $- 25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) (2 x))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) (2 \cdot ((x^{2} - 25) x))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.5.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 4 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica.

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Paso 1.1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) ((x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(x^{2} - 25)}^{2} x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.2

Reescribe ${(x^{2} - 25)}^{2}$ como $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 ((x^{2} - 25) (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.3

Expande $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.5.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} (x^{2} - 25) - 25 (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.2.5.3.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Mueve $- 25$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} - 25 \cdot x^{2} - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Multiplica $- 25$ por $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} - 25 x^{2} - 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.4.2

Resta $25 x^{2}$ de $- 25 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} - 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 8 (- 50 x^{2}) - 8 \cdot 625) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.2.5.3.1.6.1

Multiplica $- 50$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} + 400 x^{2} - 8 \cdot 625) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.6.2

Multiplica $- 8$ por $625$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} + 400 x^{2} - 5000) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{4} x + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.8.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{1 + 4} + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 (x \cdot x^{2}) - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 (x \cdot x^{2}) - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{1 + 2} - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.9.1

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.9.2

Multiplica $- 4$ por $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} + 400) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.10

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.10.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} + 400) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} + 400) (x^{2 + 1} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.10.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} + 400) (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.11

Expande $(16 x^{2} + 400) (x^{3} - 25 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{2} (x^{3} - 25 x) + 400 (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.2.5.3.1.12.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 (x^{3} x^{2}) + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{3 + 2} + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 x^{2} x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 (x \cdot x^{2})) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 (x \cdot x^{2})) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 x^{1 + 2}) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 x^{3}) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Multiplica $16$ por $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} - 400 x^{3} + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Multiplica $- 25$ por $400$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} - 400 x^{3} + 400 x^{3} - 10000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.2

Suma $- 400 x^{3}$ y $400 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 0 - 10000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.1.12.3

Suma $16 x^{5}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} - 10000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.2

Suma $- 8 x^{5}$ y $16 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x - 10000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3.3

Resta $10000 x$ de $- 5000 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 400 x^{3} - 15000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.5.4.1

Factoriza $8 x$ de $8 x^{5} + 400 x^{3} - 15000 x$ .

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Paso 1.1.2.5.4.1.1

Factoriza $8 x$ de $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 400 x^{3} - 15000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.1.2

Factoriza $8 x$ de $400 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (50 x^{2}) - 15000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.1.3

Factoriza $8 x$ de $- 15000 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (50 x^{2}) + 8 x (- 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.1.4

Factoriza $8 x$ de $8 x (x^{4}) + 8 x (50 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} + 50 x^{2}) + 8 x (- 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.1.5

Factoriza $8 x$ de $8 x (x^{4} + 50 x^{2}) + 8 x (- 1875)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} + 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ({(x^{2})}^{2} + 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (u^{2} + 50 u - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.4

Factoriza $u^{2} + 50 u - 1875$ con el método AC.

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Paso 1.1.2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 1875$ y cuya suma es $50$ .

$- 25, 75$

Paso 1.1.2.5.4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f'' (x) = \frac{8 x ((u - 25) (u + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((x^{2} - 25) (x^{2} + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.6

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((x^{2} - 5^{2}) (x^{2} + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.4.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.2.5.5.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x^{2} - 5^{2})}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{((x + 5) (x - 5))}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.5.3

Aplica la regla del producto a $(x + 5) (x - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.6

Cancela el factor común de $x + 5$ y ${(x + 5)}^{4}$ .

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Paso 1.1.2.5.6.1

Factoriza $x + 5$ de $8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 5) ((8 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.5.6.2.1

Factoriza $x + 5$ de ${(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 5) ((8 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Paso 1.1.2.5.6.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x + 5) ((8 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Paso 1.1.2.5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(8 x (x - 5)) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.7

Cancela el factor común de $x - 5$ y ${(x - 5)}^{4}$ .

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Paso 1.1.2.5.7.1

Factoriza $x - 5$ de $(8 x (x - 5)) (x^{2} + 75)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((8 x) (x^{2} + 75))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.5.7.2.1

Factoriza $x - 5$ de ${(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((8 x) (x^{2} + 75))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Paso 1.1.2.5.7.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((8 x) (x^{2} + 75))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Paso 1.1.2.5.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 x (x^{2} + 75) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 75 = 0$

Paso 1.2.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.3.3

Establece $x^{2} + 75$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Establece $x^{2} + 75$ igual a $0$ .

$x^{2} + 75 = 0$

Paso 1.2.3.3.2

Resuelve $x^{2} + 75 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.3.3.2.1

Resta $75$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 75$

Paso 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 75}$

Paso 1.2.3.3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 75}$ .

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Paso 1.2.3.3.2.3.1

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (75)}$

Paso 1.2.3.3.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$

Paso 1.2.3.3.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{75}$

Paso 1.2.3.3.2.3.4

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.3.3.2.3.4.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}$

Paso 1.2.3.3.2.3.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Paso 1.2.3.3.2.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \cdot (5 \sqrt{3})$

Paso 1.2.3.3.2.3.6

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 5 i \sqrt{3}$

Paso 1.2.3.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 5 i \sqrt{3}$

Paso 1.2.3.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 5 i \sqrt{3}$

Paso 1.2.3.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5 i \sqrt{3}, - 5 i \sqrt{3}$

Paso 1.2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $8 x (x^{2} + 75) = 0$ verdadera.

$x = 0, 5 i \sqrt{3}, - 5 i \sqrt{3}$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} - 25}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{4 x}{x^{2} - 25}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 25 = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 25$

Paso 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Paso 2.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{25}$ .

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Paso 2.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 5$

Paso 2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 5$

Paso 2.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 5$

Paso 2.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5, - 5$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 5, - 5}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 5, - 5}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 5)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 8$ en la expresión.

$f'' (- 8) = \frac{8 (- 8) ({(- 8)}^{2} + 75)}{{((- 8) + 5)}^{3} {((- 8) - 5)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Multiplica $8$ por $- 8$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{{(- 8 + 5)}^{3} {(- 8 - 5)}^{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.1

Suma $- 8$ y $5$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{{(- 3)}^{3} {(- 8 - 5)}^{3}}$

Paso 4.2.2.2

Resta $5$ de $- 8$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{{(- 3)}^{3} {(- 13)}^{3}}$

Paso 4.2.2.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{- 27 {(- 13)}^{3}}$

Paso 4.2.2.4

Eleva $- 13$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{- 27 \cdot - 2197}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 (64 + 75)}{- 27 \cdot - 2197}$

Paso 4.2.3.2

Suma $64$ y $75$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 \cdot 139}{- 27 \cdot - 2197}$

Paso 4.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.4.1

Multiplica $- 27$ por $- 2197$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 \cdot 139}{59319}$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $- 64$ por $139$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 8896}{59319}$

Paso 4.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 8) = - \frac{8896}{59319}$

Paso 4.2.5

La respuesta final es $- \frac{8896}{59319}$ .

$- \frac{8896}{59319}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 5)$ porque $f'' (- 8)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 5)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 5, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{8 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 75)}{{((- 2) + 5)}^{3} {((- 2) - 5)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{{(- 2 + 5)}^{3} {(- 2 - 5)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Suma $- 2$ y $5$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{3^{3} {(- 2 - 5)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Resta $5$ de $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{3^{3} {(- 7)}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{27 {(- 7)}^{3}}$

Paso 5.2.2.4

Eleva $- 7$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{27 \cdot - 343}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 (4 + 75)}{27 \cdot - 343}$

Paso 5.2.3.2

Suma $4$ y $75$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 \cdot 79}{27 \cdot - 343}$

Paso 5.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $27$ por $- 343$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 \cdot 79}{- 9261}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $- 16$ por $79$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1264}{- 9261}$

Paso 5.2.4.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$f'' (- 2) = \frac{1264}{9261}$

Paso 5.2.5

La respuesta final es $\frac{1264}{9261}$ .

$\frac{1264}{9261}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 5, 0)$ porque $f'' (- 2)$ es positiva.

Convexo en $(- 5, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, 5)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = \frac{8 (2) ({(2)}^{2} + 75)}{{((2) + 5)}^{3} {((2) - 5)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{{(2 + 5)}^{3} {(2 - 5)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Suma $2$ y $5$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{7^{3} {(2 - 5)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $5$ de $2$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{7^{3} {(- 3)}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{343 {(- 3)}^{3}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{343 \cdot - 27}$

Paso 6.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = \frac{16 (4 + 75)}{343 \cdot - 27}$

Paso 6.2.3.2

Suma $4$ y $75$ .

$f'' (2) = \frac{16 \cdot 79}{343 \cdot - 27}$

Paso 6.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $343$ por $- 27$ .

$f'' (2) = \frac{16 \cdot 79}{- 9261}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $16$ por $79$ .

$f'' (2) = \frac{1264}{- 9261}$

Paso 6.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (2) = - \frac{1264}{9261}$

Paso 6.2.5

La respuesta final es $- \frac{1264}{9261}$ .

$- \frac{1264}{9261}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(0, 5)$ porque $f'' (2)$ es negativa.

Cóncavo en $(0, 5)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(5, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f'' (8) = \frac{8 (8) ({(8)}^{2} + 75)}{{((8) + 5)}^{3} {((8) - 5)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $8$ por $8$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{{(8 + 5)}^{3} {(8 - 5)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Suma $8$ y $5$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{13^{3} {(8 - 5)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Resta $5$ de $8$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{13^{3} \cdot 3^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $13$ a la potencia de $3$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{2197 \cdot 3^{3}}$

Paso 7.2.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{2197 \cdot 27}$

Paso 7.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f'' (8) = \frac{64 (64 + 75)}{2197 \cdot 27}$

Paso 7.2.3.2

Suma $64$ y $75$ .

$f'' (8) = \frac{64 \cdot 139}{2197 \cdot 27}$

Paso 7.2.4

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.1

Multiplica $2197$ por $27$ .

$f'' (8) = \frac{64 \cdot 139}{59319}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $64$ por $139$ .

$f'' (8) = \frac{8896}{59319}$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $\frac{8896}{59319}$ .

$\frac{8896}{59319}$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(5, \infty)$ porque $f'' (8)$ es positiva.

Convexo en $(5, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 5)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 5, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(0, 5)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(5, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9