Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{- 1}{x - 5}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x - 5})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x - 5}$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.1.3

Reescribe $\frac{1}{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{- 1}$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{- 1} + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x - 5$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 5$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 5$ .

$f' (x) = - (- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.1.5

Diferencia.

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Paso 1.1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 ({(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.1.5.2

Multiplica ${(x - 5)}^{- 2}$ por $1$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.1.5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.1.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.1.5.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.1.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.5.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.1.5.6.2

Multiplica ${(x - 5)}^{- 2}$ por $1$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.1.5.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} + \frac{1}{x - 5} \cdot 0$

Paso 1.1.1.5.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.5.8.1

Multiplica $\frac{1}{x - 5}$ por $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} + 0$

Paso 1.1.1.5.8.2

Suma ${(x - 5)}^{- 2}$ y $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2}$

Paso 1.1.1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.2.1.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ como ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x - 5)}^{2})}^{- 1})$

Paso 1.1.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{2 \cdot - 1})$

Paso 1.1.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{- 2})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x - 5$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 5)$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 5$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)$

Paso 1.1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Paso 1.1.2.3.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0)$

Paso 1.1.2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 1.1.2.3.4.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.1.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 1.1.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.2.4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 1.1.2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{- 1}{x - 5}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{- 1}{x - 5}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 5 = 0$

Paso 2.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 5}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 5}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 5)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{2}{{((0) - 5)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.1

Resta $5$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{{(- 5)}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{- 125}$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = \frac{2}{125}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $\frac{2}{125}$ .

$\frac{2}{125}$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, 5)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, 5)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(5, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f'' (8) = - \frac{2}{{((8) - 5)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1.1

Resta $5$ de $8$ .

$f'' (8) = - \frac{2}{3^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (8) = - \frac{2}{27}$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $- \frac{2}{27}$ .

$- \frac{2}{27}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(5, \infty)$ porque $f'' (8)$ es negativa.

Cóncavo en $(5, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, 5)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(5, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7