Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Paso 1.1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.1

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 (2 x)$

Paso 1.1.1.4.3

Multiplica $2$ por $18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.1.2.2.3

Multiplica $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \cdot 1$

Paso 1.1.2.4.3

Multiplica $36$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $12$ de $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Factoriza $12$ de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 96 x + 36 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $12$ de $- 96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 36 = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $12$ de $36$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 (3) = 0$

Paso 1.2.2.4

Factoriza $12$ de $12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3) = 0$

Paso 1.2.2.5

Factoriza $12$ de $12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ por $12$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ por $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $3 x^{2} - 8 x + 3$ por $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{0}{12}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.1

Divide $0$ por $12$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Paso 1.2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 8$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.3

Resta $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Paso 1.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.3

Resta $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Paso 1.2.7.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Paso 1.2.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.3

Resta $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Paso 1.2.8.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Paso 1.2.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Paso 1.2.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 + 36$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 96 \cdot 0 + 36$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $36$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 96 \cdot 0 + 36$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 96$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 36$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = 0 + 36$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $36$ .

$f'' (0) = 36$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $36$ .

$36$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3})$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f'' (1) = 36 {(1)}^{2} - 96 \cdot 1 + 36$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (1) = 36 \cdot 1 - 96 \cdot 1 + 36$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $36$ por $1$ .

$f'' (1) = 36 - 96 \cdot 1 + 36$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 96$ por $1$ .

$f'' (1) = 36 - 96 + 36$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Resta $96$ de $36$ .

$f'' (1) = - 60 + 36$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 60$ y $36$ .

$f'' (1) = - 24$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 24$ .

$- 24$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$ porque $f'' (1)$ es negativa.

Cóncavo en $(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f'' (5) = 36 {(5)}^{2} - 96 \cdot 5 + 36$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f'' (5) = 36 \cdot 25 - 96 \cdot 5 + 36$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $36$ por $25$ .

$f'' (5) = 900 - 96 \cdot 5 + 36$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 96$ por $5$ .

$f'' (5) = 900 - 480 + 36$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Resta $480$ de $900$ .

$f'' (5) = 420 + 36$

Paso 6.2.2.2

Suma $420$ y $36$ .

$f'' (5) = 456$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $456$ .

$456$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ porque $f'' (5)$ es positiva.

Convexo en $(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8