Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Paso 1.1.1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Paso 1.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8 x + 41$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Paso 1.1.1.2.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))$

Paso 1.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))$

Paso 1.1.1.2.5

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))$

Paso 1.1.1.2.6

Como $41$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $41$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + 0)$

Paso 1.1.1.2.7

Suma $2 x - 8$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8)$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} (2 x - 8)$ .

$f' (x) = (2 x - 8) (\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41})$

Paso 1.1.1.3.2

Multiplica $2 x - 8$ por $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Paso 1.1.1.3.3

Factoriza $2$ de $2 x - 8$ .

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Paso 1.1.1.3.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Paso 1.1.1.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 41}$

Paso 1.1.1.3.3.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 4$ y $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.4.2

Multiplica $x^{2} - 8 x + 41$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8 x + 41$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.7

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.9

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.10

Como $41$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $41$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.11

Combina fracciones.

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Paso 1.1.2.3.11.1

Suma $2 x - 8$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Paso 1.1.2.3.11.2

Combina $2$ y $\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 + (- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.4.3.1.1

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.2

Multiplica $2$ por $41$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.4

Expande $(- x + 4) (2 x - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.4.3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x - 8) + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.2.4.3.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.4.3.1.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.4.3.1.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5.1.4

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5.1.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5.1.6

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.5.2

Suma $8 x$ y $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 16 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.7

Simplifica.

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Paso 1.1.2.4.3.1.7.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.7.2

Multiplica $16$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.1.7.3

Multiplica $2$ por $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.2

Resta $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 16 x + 82 + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.3

Suma $- 16 x$ y $32 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 82 - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.3.4

Resta $64$ de $82$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} + 16 x + 18$ .

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Paso 1.1.2.4.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.4.1.2

Factoriza $2$ de $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.4.1.3

Factoriza $2$ de $18$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.4.1.4

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.4.1.5

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.4.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.2.4.4.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 1.1.2.4.4.2.1.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.4.2.1.2

Reescribe $8$ como $- 1$ más $9$

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.4.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.4.4.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.4.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.4.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 1) (x - 9))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.6

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.8

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.10

Reordena los factores en $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (x + 1) (x - 9) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Paso 1.2.3.2

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.3.3

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 1.2.3.3.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 1.2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x + 1) (x - 9) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 9$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$ .

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Paso 2.1

Establece el argumento en $\ln (x^{2} - 8 x + 41)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} - 8 x + 41 > 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Paso 2.2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.2.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 8$ y $c = 41$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.4.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Paso 2.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.3

Resta $164$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.4

Reescribe $- 100$ como $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (100)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.7

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.9

Mueve $10$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Paso 2.2.4.3

Simplifica $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Paso 2.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Paso 2.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.3

Resta $164$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.4

Reescribe $- 100$ como $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (100)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.7

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.9

Mueve $10$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Paso 2.2.5.3

Simplifica $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Paso 2.2.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 4 + 5 i$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Paso 2.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.3

Resta $164$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.4

Reescribe $- 100$ como $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (100)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.7

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.9

Mueve $10$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Paso 2.2.6.3

Simplifica $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Paso 2.2.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 4 - 5 i$

Paso 2.2.7

Identifica el coeficiente principal.

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Paso 2.2.7.1

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$x^{2}$

Paso 2.2.7.2

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$1$

Paso 2.2.8

Como no hay intersecciones reales con x y el coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia arriba y $x^{2} - 8 x + 41$ siempre es mayor que $0$ .

Todos los números reales

Paso 2.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 9) \cup (9, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.1

Suma $- 4$ y $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3

Resta $9$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 + 32 + 41)}^{2}}$

Paso 4.2.2.3

Suma $16$ y $32$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(48 + 41)}^{2}}$

Paso 4.2.2.4

Suma $48$ y $41$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{89^{2}}$

Paso 4.2.2.5

Eleva $89$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{7921}$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 6$ por $- 13$ .

$f'' (- 4) = - \frac{78}{7921}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 1, 9)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{({(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (1 (0 - 9))}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 9)}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3

Resta $9$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 0 + 41)}^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 41)}^{2}}$

Paso 5.2.2.4

Suma $0$ y $41$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{41^{2}}$

Paso 5.2.2.5

Eleva $41$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{1681}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$f'' (0) = - \frac{- 18}{1681}$

Paso 5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = \frac{18}{1681}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $\frac{18}{1681}$ .

$\frac{18}{1681}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 1, 9)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- 1, 9)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(9, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $12$ en la expresión.

$f'' (12) = - \frac{2 ((12) + 1) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Suma $12$ y $1$ .

$f'' (12) = - \frac{2 \cdot (13 (12 - 9))}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $13$ .

$f'' (12) = - \frac{26 (12 - 9)}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Resta $9$ de $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 8$ por $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 96 + 41)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Resta $96$ de $144$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(48 + 41)}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Suma $48$ y $41$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{89^{2}}$

Paso 6.2.2.5

Eleva $89$ a la potencia de $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{7921}$

Paso 6.2.3

Multiplica $26$ por $3$ .

$f'' (12) = - \frac{78}{7921}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(9, \infty)$ porque $f'' (12)$ es negativa.

Cóncavo en $(9, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 1, 9)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(9, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8