Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

Paso 1

Cambia el límite bilateral a un límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x^{2} + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Paso 2.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (x^{2} + 2 x)$ disminuye sin cota.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Paso 2.1.3

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (x)$ disminuye sin cota.

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Paso 2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Paso 2.2

Como $\frac{- \infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x^{2} + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.8.2

Factoriza $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.8.2.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 2}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.8.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.8.3

Multiplica $2 x + 2$ por $\frac{1}{x (x + 2)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.8.4

Factoriza $2$ de $2 x + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.8.4.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2 (1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.8.4.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 2.3.9

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{1}{x}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)} x$

Paso 2.5

Combina $\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}$ y $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x + 2}$

Paso 3

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 1}{x + 2}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Paso 3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 2}$

Paso 3.6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{0 + 2}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Suma $0$ y $1$ .

$2 \frac{1}{0 + 2}$

Paso 5.2

Suma $0$ y $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{2})$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$1$