Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} x^{3} \ln (x)$

Paso 1

Cambia el límite bilateral a un límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} x^{3} \ln (x)$

Paso 2

Reescribe $x^{3} \ln (x)$ como $\frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

Paso 3.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (x)$ disminuye sin cota.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 3.1.3.2

Como el numerador es una constante y el denominador se acerca a $0$ cuando $x$ se acerca a $0$ desde la derecha, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca al infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 3.1.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 3.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 x^{- 4}}$

Paso 3.3.4

Simplifica.

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Paso 3.3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

Paso 3.3.4.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

Paso 3.3.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{4}}{3})$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{x^{4}}{3}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{4}}{x \cdot 3}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

Paso 3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $x$ de $x \cdot 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x (3)}$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

Paso 3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{3}}{3}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{3}}{3}$

Paso 4.2

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x^{3}$

Paso 4.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- \frac{1}{3} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0$

Paso 6.2

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Paso 6.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3})$

Paso 6.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$0$