Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 4 x^{2}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = - 4 {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 4 ((x + h) (x + h))$

Paso 2.1.2.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 4 (x (x + h) + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 4 x^{2} - 4 (2 h x) - 4 h^{2}$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f (x + h) = - 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$

Paso 2.1.2.6

La respuesta final es $- 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $- 4 x^{2}$ .

$- 8 h x - 4 h^{2} - 4 x^{2}$

Paso 2.2.2

Reordena $- 8 h x$ y $- 4 h^{2}$ .

$- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

$f (x) = - 4 x^{2}$

$f (x + h) = - 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

$f (x) = - 4 x^{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} - (- 4 x^{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + 4 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.2

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + {(2 x)}^{2}}{h}$

Paso 4.1.3

Reescribe $4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$ como ${(2 h + 2 x)}^{2}$ .

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Paso 4.1.3.1

Reescribe $4 h^{2}$ como ${(2 h)}^{2}$ .

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 8 h x + 4 x^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 8 h x + {(2 x)}^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 h x = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x)$

Paso 4.1.3.4

Reescribe el polinomio.

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x) + {(2 x)}^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

Paso 4.1.3.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 2 h$ y $b = 2 x$ .

$\frac{- {(2 h + 2 x)}^{2} + {(2 x)}^{2}}{h}$

Paso 4.1.4

Reordena $- {(2 h + 2 x)}^{2}$ y ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - {(2 h + 2 x)}^{2}}{h}$

Paso 4.1.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 2 h + 2 x$ .

$\frac{(2 x + 2 h + 2 x) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Paso 4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.1.6.1

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{(4 x + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Paso 4.1.6.2

Factoriza $2$ de $4 x + 2 h$ .

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Paso 4.1.6.2.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\frac{(2 (2 x) + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Paso 4.1.6.2.2

Factoriza $2$ de $2 h$ .

$\frac{(2 (2 x) + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Paso 4.1.6.2.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 h$ .

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Paso 4.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - (2 h) - (2 x))}{h}$

Paso 4.1.6.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - 2 h - (2 x))}{h}$

Paso 4.1.6.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - 2 h - 2 x)}{h}$

Paso 4.1.6.6

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 (2 x + h) (- 2 h + 0)}{h}$

Paso 4.1.6.7

Suma $- 2 h$ y $0$ .

$\frac{2 (2 x + h) \cdot - 2 h}{h}$

Paso 4.1.6.8

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4 (2 x + h) h}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 (2 x + h) h}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $- 4 (2 x + h)$ por $1$ .

$- 4 (2 x + h)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 (2 x) - 4 h$

Paso 4.2.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- 8 x - 4 h$

Paso 5