Cálculo Ejemplos

${(x^{2} + 1)}^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x)$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 (x^{2} + 1) x$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x^{2} + 4 \cdot 1) x$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} x + 4 \cdot 1 x$

Paso 1.3.3

Combina los términos.

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Paso 1.3.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot 1 x$

Paso 1.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot 1 x$

Paso 1.3.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot 1 x$

Paso 1.3.3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{2} + 4 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4$