Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 1$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 1) x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.5.1

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

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Paso 1.3.5.1.1

Resta $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 1 x) + 0 - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.2

Suma $2 \cdot - 1 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 1 x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.5.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.5.3

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.7.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.7.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Paso 1.3.7.3

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ y $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia.

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Paso 2.6.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 1)}^{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.6.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + 0) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.6.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) \cdot 1 + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.6.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 (x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia.

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Paso 2.8.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 \cdot ({(x - 1)}^{2} (x + 1)) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.8.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + 0))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.8.5

Combina fracciones.

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Paso 2.8.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) \cdot 1)}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.8.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.8.5.3

Combina $- 4$ y $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.8.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{(4) ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Aplica la regla del producto a ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)) - x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + 4 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.4.1

Factoriza $4 (x + 1) (x - 1)$ de $4 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} + 4 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

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Paso 2.9.4.1.1

Factoriza $4 (x + 1) (x - 1)$ de $4 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 4 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.1.2

Factoriza $4 (x + 1) (x - 1)$ de $4 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)))$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.1.3

Factoriza $4 (x + 1) (x - 1)$ de $4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.1.4

Factoriza $4 (x + 1) (x - 1)$ de $4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1)))$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.1.5

Factoriza $4 (x + 1) (x - 1)$ de $4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1)) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.2

Combina exponentes.

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Paso 2.9.4.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.9.4.3.1

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.9.4.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.4.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.4.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 0 - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.2.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.4.3.4.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.4.3.7.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.4

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 2.9.4.4.1

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.4.2

Suma $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.5

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- x^{2} - 1 - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.4.6

Resta $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.5

Combina los términos.

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Paso 2.9.5.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.9.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.5.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.9.5.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.9.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.9.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.9.5.3

Cancela el factor común de $x + 1$ y ${(x + 1)}^{4}$ .

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Paso 2.9.5.3.1

Factoriza $x + 1$ de $4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 1) ((4 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.9.5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.9.5.3.2.1

Factoriza $x + 1$ de ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 1) ((4 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Paso 2.9.5.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{(x + 1) ((4 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Paso 2.9.5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{(4 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.9.5.4

Cancela el factor común de $x - 1$ y ${(x - 1)}^{4}$ .

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Paso 2.9.5.4.1

Factoriza $x - 1$ de $4 (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 1) (4 (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.9.5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.9.5.4.2.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 1) (4 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Paso 2.9.5.4.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{(x - 1) (4 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Paso 2.9.5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.9.6

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (3 x^{2}) - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.9.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.9.8

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.9.9

Reescribe $- (3 x^{2} + 1)$ como $- 1 (3 x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.9.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.9.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}})$

Paso 2.9.12

Multiplica $\frac{4 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$