Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{3 + t}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{1}{3 + t}$ como ${(3 + t)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{- 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = 3 + t$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 + t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [3 + t]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d t} [3 + t]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + t$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [3 + t]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t])$

Paso 1.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t])$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- {(3 + t)}^{- 2}$

Paso 1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (t) = - \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = - 1$ y $g (t) = \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ como ${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d t} [{({(3 + t)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{- 2}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 2}$ y $g (t) = 3 + t$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 + t$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + t$ .

$- (- 2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 ({(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.4.3

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.4.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [t]$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.4.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.4.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.4.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.8.1

Multiplica $\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ por $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + 0$

Paso 2.4.8.2

Suma $2 {(3 + t)}^{- 3}$ y $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$

Paso 2.5.2

Combina $2$ y $\frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(3 + t)}^{3}}$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$f'' (t) = \frac{2}{{(t + 3)}^{3}}$