Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{1 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe $\frac{1}{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.5

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.5.2

Multiplica ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ por $1$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Paso 1.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

Paso 1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.1

Combina $2$ y $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Paso 1.5.1.2

Combina $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(- x^{2} + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3.3

Multiplica ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ por $1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = - x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2} + 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2} + 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.2

Factoriza $- x^{2} + 1$ de ${(- x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Factoriza $- x^{2} + 1$ de ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.2.2

Factoriza $- x^{2} + 1$ de $- 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])$ .

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) + (- x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.2.3

Factoriza $- x^{2} + 1$ de $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) + (- x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))$ .

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Factoriza $- x^{2} + 1$ de ${(- x^{2} + 1)}^{4}$ .

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{(- x^{2} + 1) {(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{(- x^{2} + 1) {(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.6.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.10

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x + 0)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.1

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.12.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x \cdot x}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 (x^{1} x)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 (x^{1} x^{1})}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x^{1 + 1}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.16

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.17

Suma $- x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$2 \frac{3 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.18

Combina $2$ y $\frac{3 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.19

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.19.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.19.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.19.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$