Cálculo Ejemplos

$x^{2} e^{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Paso 1.4.2

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Paso 2.3.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Paso 2.4.2

Suma $e^{x} (2 x)$ y $2 x e^{x}$ .

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Paso 2.4.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 2.4.2.2

Suma $2 x e^{x}$ y $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Paso 2.4.4

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x e^{x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Paso 3.3.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x}) + 4 e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 3.5.2

Combina los términos.

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Paso 3.5.2.1

Suma $e^{x} (2 x)$ y $4 x e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.1

Mueve $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 4 x e^{x} + 4 e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 3.5.2.1.2

Suma $2 x e^{x}$ y $4 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 4 e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 3.5.2.2

Suma $4 e^{x}$ y $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x}$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 6 e^{x}$

Paso 3.5.4

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

$f''' (x) = x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Paso 4.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Paso 4.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x e^{x}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Paso 4.3.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Paso 4.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ .

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Paso 4.4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 e^{x}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + 6 e^{x}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x}) + 6 e^{x} + 6 e^{x}$

Paso 4.5.2

Combina los términos.

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Paso 4.5.2.1

Suma $e^{x} (2 x)$ y $6 x e^{x}$ .

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Paso 4.5.2.1.1

Mueve $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x} + 6 e^{x}$

Paso 4.5.2.1.2

Suma $2 x e^{x}$ y $6 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 6 e^{x} + 6 e^{x}$

Paso 4.5.2.2

Suma $6 e^{x}$ y $6 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 12 e^{x}$

Paso 4.5.3

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} + 8 e^{x} x + 12 e^{x}$

Paso 4.5.4

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 8 e^{x} x + 12 e^{x}$ .

$f^{4} (x) = x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 12 e^{x}$