Cálculo Ejemplos

${(1 - x)}^{- 2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 1.2.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$

Paso 1.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}]$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ como ${({(1 - x)}^{3})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(1 - x)}^{3})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x)}^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3 \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 3}$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$2 (- 3 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- 6 ({(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$6 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 {(1 - x)}^{- 4} \cdot 1$

Paso 2.3.8

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 {(1 - x)}^{- 4}$

Paso 2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(1 - x)}^{4}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Combina $6$ y $\frac{1}{{(1 - x)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(1 - x)}^{4}}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{6}{{(- x + 1)}^{4}}$