Cálculo Ejemplos

$4 {(x + 2)}^{\frac{5}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 {(x + 2)}^{\frac{5}{3}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{5}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{5}{3}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{3}$ .

$4 (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.6.2

Resta $3$ de $5$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Combina $\frac{5}{3}$ y ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ y $4$ .

$\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.7.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 1.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + 0)$

Paso 1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot 1$

Paso 1.11.2

Multiplica $\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{20}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$\frac{20}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.7.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2 {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.7.3

Mueve ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Paso 2.7.4

Multiplica $\frac{2}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{20}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 20}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 2.7.5

Multiplica.

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Paso 2.7.5.1

Multiplica $2$ por $20$ .

$\frac{40}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 2.7.5.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Paso 2.11.2

Multiplica $\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$