Cálculo Ejemplos

$6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $6 y^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $y$ es $6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.6.2

Resta $2$ de $5$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.7

Combina $\frac{5}{2}$ y $y^{\frac{3}{2}}$ .

$6 \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.8

Combina $6$ y $\frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 (5 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.9

Multiplica $5$ por $6$ .

$\frac{30 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.10

Factoriza $2$ de $30 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{15 y^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.2.11.4

Divide $15 y^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 5 x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 5 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 5 x y$ con respecto a $y$ es $- 5 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Paso 1.4

Como $- 7 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$ y $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$f' (y) = - 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.1.2

Como $- 5 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $15$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $15 y^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $y$ es $15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 + 15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 2.2.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $y^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + 15 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.2.8

Combina $15$ y $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{15 (3 y^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 2.2.9

Multiplica $3$ por $15$ .

$0 + \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (y) = \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$