Cálculo Ejemplos

$x^{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1.1

Reescribe $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Paso 1.1.2

Expande $\ln (x^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x \ln (x)$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.5.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.2.1

Cancela el factor común.

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.5.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 1.5.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 1.6.2

Multiplica $e^{x \ln (x)}$ por $1$ .

$e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 1.6.3

Reordena los términos.

$f' (x) = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x \ln (x)}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x \ln (x)$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.5

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.7

Combina $e^{x \ln (x)}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.8

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.9

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.10

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.11

Para escribir $\ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \frac{\ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x \ln (x)$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 2.3.5

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 2.3.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 2.3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 2.3.7

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x \ln (x)} + (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Paso 2.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Paso 2.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 2.4.5

Combina los términos.

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Paso 2.4.5.1

Multiplica $e^{x \ln (x)}$ por $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 2.4.5.2

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{1} (x) \ln (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 2.4.5.3

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{1} (x) \ln^{1} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 2.4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + {\ln (x)}^{1 + 1} e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 2.4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 2.4.5.6

Multiplica $e^{x \ln (x)}$ por $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 2.4.5.7

Para escribir $e^{x \ln (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + \frac{e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 2.4.5.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 2.4.5.9

Para escribir $e^{x \ln (x)} \ln (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x} + \frac{e^{x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Paso 2.4.5.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Paso 2.4.5.11

Reordena $e^{x \ln (x)}$ y $x$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + x e^{x \ln (x)} \ln (x) + x e^{x \ln (x)} \ln (x) + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x}$

Paso 2.4.5.12

Suma $x e^{x \ln (x)} \ln (x)$ y $x e^{x \ln (x)} \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + 2 x e^{x \ln (x)} \ln (x) + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x}$

Paso 2.4.6

Reordena los términos.

$\frac{2 e^{x \ln (x)} x \ln (x) + e^{x \ln (x)} x \ln^{2} (x) + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)}}{x}$

Paso 2.4.7

Reordena los factores en $\frac{2 e^{x \ln (x)} x \ln (x) + e^{x \ln (x)} x \ln^{2} (x) + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)}}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x e^{x \ln (x)} \ln (x) + x e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x) + x e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)}}{x}$