Cálculo Ejemplos

$x^{2} \ln (3 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Combina $\frac{1}{3 x}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.2.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.4.1

Combina $3$ y $\frac{x}{3}$ .

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x + \ln (3 x) (2 x)$

Paso 1.3.8

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x \ln (3 x) + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \ln (3 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (3 x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{1}{3 x}$ y $3$ .

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.9.1

Cancela el factor común.

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.9.2

Reescribe la expresión.

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.10

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.11

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.11.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.11.2

Reescribe la expresión.

$2 (1 + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.12

Multiplica $\ln (3 x)$ por $1$ .

$2 (1 + \ln (3 x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (3 x)) + 1$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (3 x) + 1$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 \ln (3 x) + 1$

Paso 2.4.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (3 x) + 3$