Cálculo Ejemplos

$y = 4 \sqrt{x}$ , $y = 4$ , $x = 0$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = 4$ y $g (x) = 4 \sqrt{x}$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$V = 16 - {(4 \sqrt{x})}^{2}$

Paso 2.2

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{x}$ .

$V = 16 - (4^{2} {\sqrt{x}}^{2})$

Paso 2.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$V = 16 - (16 {\sqrt{x}}^{2})$

Paso 2.4

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = 16 - (16 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Paso 2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 - (16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Paso 2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$V = 16 - (16 x^{\frac{2}{2}})$

Paso 2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.4.1

Cancela el factor común.

$V = 16 - (16 x^{\frac{2}{2}})$

Paso 2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$V = 16 - (16 x)$

Paso 2.4.5

Simplifica.

$V = 16 - (16 x)$

Paso 2.5

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$V = 16 - 16 x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{0}^{1} 16 d x + \int_{0}^{1} - 16 x d x)$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$V = π (16 x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 16 x d x)$

Paso 5

Dado que $- 16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 16$ fuera de la integral.

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 \int_{0}^{1} x d x)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}))$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $16 x$ en $1$ y en $0$ .

$V = π ((16 \cdot 1) - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$V = π (16 \cdot 1 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $16$ por $1$ .

$V = π (16 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $- 16$ por $0$ .

$V = π (16 + 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 7.2.3.3

Suma $16$ y $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 7.2.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 7.2.3.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}))$

Paso 7.2.3.6

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.6.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

Paso 7.2.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Paso 7.2.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Paso 7.2.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}))$

Paso 7.2.3.6.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - 0))$

Paso 7.2.3.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} + 0))$

Paso 7.2.3.8

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2}))$

Paso 7.2.3.9

Combina $- 16$ y $\frac{1}{2}$ .

$V = π (16 + \frac{- 16}{2})$

Paso 7.2.3.10

Cancela el factor común de $- 16$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.10.1

Factoriza $2$ de $- 16$ .

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2})$

Paso 7.2.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)})$

Paso 7.2.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1})$

Paso 7.2.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (16 + \frac{- 8}{1})$

Paso 7.2.3.10.2.4

Divide $- 8$ por $1$ .

$V = π (16 - 8)$

Paso 7.2.3.11

Resta $8$ de $16$ .

$V = π \cdot 8$

Paso 7.2.3.12

Mueve $8$ a la izquierda de $π$ .

$V = 8 π$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = 8 π$

Forma decimal:

$V = 25.13274122 \dots$

Paso 9