Cálculo Ejemplos

$y = x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{5})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{5}] + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x (10 {(x^{2} + 1)}^{4} x) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{1} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 1} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.7

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \cdot 1$

Paso 3.9

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{5}$ por $1$ .

$x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5}$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{4}$ de $x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5}$ .

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Paso 3.10.1.1

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{4}$ de $x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4})$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10)) + {(x^{2} + 1)}^{5}$

Paso 3.10.1.2

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{4}$ de ${(x^{2} + 1)}^{5}$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10)) + {(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} + 1)$

Paso 3.10.1.3

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{4}$ de ${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10)) + {(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} + 1)$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10) + x^{2} + 1)$

Paso 3.10.2

Combina los términos.

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Paso 3.10.2.1

Mueve $10$ a la izquierda de $x^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (10 \cdot x^{2} + x^{2} + 1)$

Paso 3.10.2.2

Suma $10 x^{2}$ y $x^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (11 x^{2} + 1)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = {(x^{2} + 1)}^{4} (11 x^{2} + 1)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(x^{2} + 1)}^{4} (11 x^{2} + 1)$