Cálculo Ejemplos

$y = \ln (| 3 x^{2} - 7 x |)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| 3 x^{2} - 7 x |))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = | 3 x^{2} - 7 x |$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $| 3 x^{2} - 7 x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $| 3 x^{2} - 7 x |$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = 3 x^{2} - 7 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x^{2} - 7 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

Paso 3.2.2

La derivada de $| u_{2} |$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x^{2} - 7 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ por $\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x | | 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Paso 3.4

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| (3 x^{2} - 7 x) (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Paso 3.5

Eleva $3 x^{2} - 7 x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Paso 3.6

Eleva $3 x^{2} - 7 x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Paso 3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Paso 3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Paso 3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Paso 3.10

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Paso 3.12

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Paso 3.13

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \cdot 1)$

Paso 3.15

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$

Paso 3.16

Simplifica.

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Paso 3.16.1

Reordena los factores de $\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Paso 3.16.2

Factoriza $x$ de $3 x^{2} - 7 x$ .

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Paso 3.16.2.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Paso 3.16.2.2

Factoriza $x$ de $- 7 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) + x \cdot - 7}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Paso 3.16.2.3

Factoriza $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Paso 3.16.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.16.3.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2} - 7 x$ .

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Paso 3.16.3.1.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) - 7 x)}^{2} |}$

Paso 3.16.3.1.2

Factoriza $x$ de $- 7 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) + x \cdot - 7)}^{2} |}$

Paso 3.16.3.1.3

Factoriza $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x - 7))}^{2} |}$

Paso 3.16.3.2

Aplica la regla del producto a $x (3 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

Paso 3.16.3.3

Reescribe ${(3 x - 7)}^{2}$ como $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ((3 x - 7) (3 x - 7)) |}$

Paso 3.16.3.4

Expande $(3 x - 7) (3 x - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.16.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)) |}$

Paso 3.16.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)) |}$

Paso 3.16.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Paso 3.16.3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.16.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.16.3.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Paso 3.16.3.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.16.3.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Paso 3.16.3.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Paso 3.16.3.5.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Paso 3.16.3.5.1.4

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Paso 3.16.3.5.1.5

Multiplica $3$ por $- 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7) |}$

Paso 3.16.3.5.1.6

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49) |}$

Paso 3.16.3.5.2

Resta $21 x$ de $- 21 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

Paso 3.16.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Paso 3.16.3.7

Simplifica.

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Paso 3.16.3.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Paso 3.16.3.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + x^{2} \cdot 49 |}$

Paso 3.16.3.7.3

Mueve $49$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Paso 3.16.3.8

Simplifica cada término.

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Paso 3.16.3.8.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.16.3.8.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 (x^{2} x^{2}) - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Paso 3.16.3.8.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2 + 2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Paso 3.16.3.8.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Paso 3.16.3.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.16.3.8.2.1

Mueve $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x \cdot x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

Paso 3.16.3.8.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.16.3.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x^{1} x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

Paso 3.16.3.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{1 + 2} + 49 \cdot x^{2} |}$

Paso 3.16.3.8.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 \cdot x^{2} |}$

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

Paso 3.16.3.9

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2}$ .

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Paso 3.16.3.9.1

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{4}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

Paso 3.16.3.9.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 42 x^{3}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + 49 x^{2} |}$

Paso 3.16.3.9.3

Factoriza $x^{2}$ de $49 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Paso 3.16.3.9.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Paso 3.16.3.9.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

Paso 3.16.3.10

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.16.3.10.1

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 49) |}$

Paso 3.16.3.10.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 7^{2}) |}$

Paso 3.16.3.10.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$42 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 7$

Paso 3.16.3.10.4

Reescribe el polinomio.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 7 + 7^{2}) |}$

Paso 3.16.3.10.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 3 x$ y $b = 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

Paso 3.16.4

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x^{2} {(3 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.16.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.16.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2} {(3 x - 7)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

Paso 3.16.5.2

Cancela el factor común.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

Paso 3.16.5.3

Reescribe la expresión.

$(6 x - 7) \frac{3 x - 7}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.16.6

Cancela el factor común de $3 x - 7$ y ${(3 x - 7)}^{2}$ .

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Paso 3.16.6.1

Multiplica por $1$ .

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.16.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.16.6.2.1

Factoriza $3 x - 7$ de $x {(3 x - 7)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

Paso 3.16.6.2.2

Cancela el factor común.

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

Paso 3.16.6.2.3

Reescribe la expresión.

$(6 x - 7) \frac{1}{x (3 x - 7)}$

Paso 3.16.7

Multiplica $6 x - 7$ por $\frac{1}{x (3 x - 7)}$ .

$\frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$