Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 4 - 6 x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - 6 x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - 6 x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.7

Combina fracciones.

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Paso 3.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{2} (\frac{{(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.7.3

Mueve ${(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.7.4

Combina $\frac{1}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.11

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.12

Simplifica los términos.

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Paso 3.12.1

Combina $- 6$ y $\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.12.2

Factoriza $3$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.13.1

Factoriza $3$ de $3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 ({(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2) x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (2 x) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.16

Combina fracciones.

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Paso 3.16.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.16.2

Combina $- 2$ y $\frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 2 (2 x^{2})}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.16.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.16.4

Combina $\frac{- 4 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ y $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} x}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.17

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 4 (x^{1} x^{2})}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 4 x^{1 + 2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.19

Simplifica la expresión.

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Paso 3.19.1

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.19.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(4) x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.20

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

Paso 3.21

Reordena.

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Paso 3.21.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} x$

Paso 3.21.2

Mueve ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 3.22

Para escribir $2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.24

Multiplica ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.24.1

Mueve ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x ({(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}})}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.24.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.24.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.24.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.24.5

Divide $3$ por $3$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{1}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.25

Simplifica $2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x (- 6 x^{2} + 4)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26

Simplifica.

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Paso 3.26.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x (- 6 x^{2}) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.26.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.26.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.2.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.26.2.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 (x^{2} x) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.2.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.26.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x^{3} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 12 x^{3} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.2.1.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 12 x^{3} + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.2.2

Resta $12 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- 16 x^{3} + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.3

Factoriza $8 x$ de $- 16 x^{3} + 8 x$ .

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Paso 3.26.3.1

Factoriza $8 x$ de $- 16 x^{3}$ .

$\frac{8 x (- 2 x^{2}) + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.3.2

Factoriza $8 x$ de $8 x$ .

$\frac{8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.3.3

Factoriza $8 x$ de $8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (1)$ .

$\frac{8 x (- 2 x^{2} + 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{8 x (- (2 x^{2}) + 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.5

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{8 x (- (2 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.6

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{8 x (- (2 x^{2} - 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.7

Reescribe $- (2 x^{2} - 1)$ como $- 1 (2 x^{2} - 1)$ .

$\frac{8 x (- 1 (2 x^{2} - 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(8 x) (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.26.9

Reordena los factores en $- \frac{(8 x) (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$