Cálculo Ejemplos

$y = x^{- 4 \cos (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{- 4 \cos (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 3.1.1

Reescribe $x^{- 4 \cos (x)}$ como $e^{\ln (x^{- 4 \cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{- 4 \cos (x)})}]$

Paso 3.1.2

Expande $\ln (x^{- 4 \cos (x)})$ ; para ello, mueve $- 4 \cos (x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 \cos (x) \ln (x)}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 4 \cos (x) \ln (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 4 \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x) \ln (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x) \ln (x)]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 4 \cos (x) \ln (x)$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x) \ln (x)]$

Paso 3.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \cos (x) \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Paso 3.5

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Paso 3.6

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Paso 3.7

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))))$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 \frac{\cos (x)}{x} - 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Paso 3.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 \frac{\cos (x)}{x}) + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Paso 3.8.3

Combina los términos.

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Paso 3.8.3.1

Combina $- 4$ y $\frac{\cos (x)}{x}$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \frac{- 4 \cos (x)}{x} + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Paso 3.8.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- \frac{4 \cos (x)}{x}) + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Paso 3.8.3.3

Combina $e^{- 4 \cos (x) \ln (x)}$ y $\frac{4 \cos (x)}{x}$ .

$- \frac{e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (4 \cos (x))}{x} + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Paso 3.8.3.4

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{- 4 \cos (x) \ln (x)}$ .

$- \frac{4 \cdot e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Paso 3.8.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$- \frac{4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (4 \ln (x)) \sin (x)$

Paso 3.8.4

Reordena los términos.

$4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) - \frac{4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) - \frac{4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) - \frac{4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$