Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 9}$ como ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 9$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 9$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.7

Combina fracciones.

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Paso 4.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.7.3

Mueve ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.7.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.10

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.11

Combina fracciones.

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Paso 4.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.11.2

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.11.3

Combina $\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x^{2} x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.14

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.14.1

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Paso 4.16

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x$

Paso 4.17

Combina $\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ y $2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x$ mediante un denominador común.

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Paso 4.17.1

Mueve ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.17.2

Para escribir $2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.17.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18

Multiplica ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.18.1

Mueve ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.18.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{1}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.19

Simplifica $2 x {(x^{2} + 9)}^{1}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20

Simplifica.

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Paso 4.20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.20.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.20.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.20.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.20.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{3} + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.2.1.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{3} + 18 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.2.2

Suma $x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} + 18 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.3

Factoriza $3 x$ de $3 x^{3} + 18 x$ .

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Paso 4.20.3.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{3 x (x^{2}) + 18 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.3.2

Factoriza $3 x$ de $18 x$ .

$\frac{3 x (x^{2}) + 3 x (6)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.20.3.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x^{2}) + 3 x (6)$ .

$\frac{3 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{3 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$