Cálculo Ejemplos

$y = x^{5} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{5} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Paso 3.2.4

Combina $x^{5}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Paso 3.2.5

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x$ .

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Paso 3.2.5.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Paso 3.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Paso 3.2.5.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Paso 3.2.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Paso 3.2.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Paso 3.2.5.2.5

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Paso 3.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}$

Paso 3.3.4

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- 3}{3} x^{2}$

Paso 3.3.5

Combina $\frac{- 3}{3}$ y $x^{2}$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Paso 3.3.6

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 3.3.6.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{3 (- x^{2})}{3}$

Paso 3.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}$

Paso 3.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}$

Paso 3.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- x^{2}}{1}$

Paso 3.3.6.2.4

Divide $- x^{2}$ por $1$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - x^{2}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$x^{4} - x^{2} + 5 x^{4} \ln (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = x^{4} - x^{2} + 5 x^{4} \ln (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{2} + 5 x^{4} \ln (x)$