Cálculo Ejemplos

$y = x + \tan (x y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \tan (x y))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \tan (x y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\tan (x y)]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$1 + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$1 + \sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Paso 3.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + \sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Paso 3.3.2

Reordena los términos.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) + 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) + 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) + 1$ .

$y' = x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) + 1$

Paso 5.2

Resta $x y' \sec^{2} (x y)$ de ambos lados de la ecuación.

$y' - x y' \sec^{2} (x y) = y \sec^{2} (x y) + 1$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $y' - x y' \sec^{2} (x y)$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \sec^{2} (x y) = y \sec^{2} (x y) + 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- x y' \sec^{2} (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (x y)) = y \sec^{2} (x y) + 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (x y))$ .

$y' (1 - x \sec^{2} (x y)) = y \sec^{2} (x y) + 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (1 - x \sec^{2} (x y)) = y \sec^{2} (x y) + 1$ por $1 - x \sec^{2} (x y)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (1 - x \sec^{2} (x y)) = y \sec^{2} (x y) + 1$ por $1 - x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (x y))}{1 - x \sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{1 - x \sec^{2} (x y)} + \frac{1}{1 - x \sec^{2} (x y)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - x \sec^{2} (x y)$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (x y))}{1 - x \sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{1 - x \sec^{2} (x y)} + \frac{1}{1 - x \sec^{2} (x y)}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y \sec^{2} (x y)}{1 - x \sec^{2} (x y)} + \frac{1}{1 - x \sec^{2} (x y)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y \sec^{2} (x y) + 1}{1 - x \sec^{2} (x y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sec^{2} (x y) + 1}{1 - x \sec^{2} (x y)}$