Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{2})}^{i}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ y ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ de ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

Paso 2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{- \frac{1}{2}}{1}$

Paso 2.2.2.4

Divide $- \frac{1}{2}$ por $1$ .

$r = - \frac{1}{2}$

Paso 3

Como $| r | < 1$ , las series convergen.

Paso 4

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $1$ por $i$ en ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ .

$a = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Paso 4.2

Simplifica.

$a = - \frac{1}{2}$

Paso 5

Sustituye los valores de la razón y el primer término en la fórmula de suma.

$\frac{- \frac{1}{2}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

Paso 6.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2} (1 (\frac{2}{3}))$

Paso 6.4

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 6.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 6.5.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{3}$