Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{\infty} 4 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ y ${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ de ${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $i$ y $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{i - (i - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(\frac{2}{3})}^{i - i - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{i - i + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $i$ de $i$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$r = \frac{2}{3}$

Paso 3

Como $| r | < 1$ , las series convergen.

Paso 4

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $i$ en $4 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Paso 4.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

Paso 4.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Paso 4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$a = 4 \cdot 1$

Paso 4.2.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$a = 4$

Paso 5

Sustituye los valores de la razón y el primer término en la fórmula de suma.

$\frac{4}{1 - \frac{2}{3}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{4}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Paso 6.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{\frac{3 - 2}{3}}$

Paso 6.1.3

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{4}{\frac{1}{3}}$

Paso 6.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$4 \cdot 3$

Paso 6.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$12$