Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{\infty} 3 \cdot {0.2}^{i - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{3 \cdot {0.2}^{i + 1 - 1}}{3 \cdot {0.2}^{i - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{3 \cdot {0.2}^{i + 1 - 1}}{3 \cdot {0.2}^{i - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{0.2}^{i + 1 - 1}}{{0.2}^{i - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${0.2}^{i + 1 - 1}$ y ${0.2}^{i - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${0.2}^{i - 1}$ de ${0.2}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{0.2}^{i - 1} \cdot {0.2}^{i + 0 - (i - 1)}}{{0.2}^{i - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{0.2}^{i - 1} \cdot {0.2}^{i + 0 - (i - 1)}}{{0.2}^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{0.2}^{i - 1} \cdot {0.2}^{i + 0 - (i - 1)}}{{0.2}^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{0.2}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${0.2}^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = {0.2}^{i + 0 - (i - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $i$ y $0$ .

$r = {0.2}^{i - (i - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {0.2}^{i - i - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {0.2}^{i - i + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $i$ de $i$ .

$r = {0.2}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {0.2}^{1}$

Paso 2.2.7

Evalúa el exponente.

$r = 0.2$

Paso 3

Como $| r | < 1$ , las series convergen.

Paso 4

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $i$ en $3 \cdot {0.2}^{i - 1}$ .

$a = 3 \cdot {0.2}^{1 - 1}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = 3 \cdot {0.2}^{0}$

Paso 4.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 3 \cdot 1$

Paso 4.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$a = 3$

Paso 5

Sustituye los valores de la razón y el primer término en la fórmula de suma.

$\frac{3}{1 - 0.2}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Resta $0.2$ de $1$ .

$\frac{3}{0.8}$

Paso 6.2

Divide $3$ por $0.8$ .

$3.75$