Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{9} 3 i^{2} + 8 i - 5$

Paso 1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{9} 3 i^{2} + 8 i - 5 = 3 \sum_{k = 1}^{9} i^{2} + 8 \sum_{k = 1}^{9} i + \sum_{k = 1}^{9} - 5$

Paso 2

Evalúa $3 \sum_{k = 1}^{9} i^{2}$ .

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Paso 2.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 2.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(3) (\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6})$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1.1

Suma $9$ y $1$ .

$3 \frac{9 \cdot 10 (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Paso 2.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 2.3.1.2.1

Multiplica $9$ por $10$ .

$3 \frac{90 (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$3 \frac{90 (18 + 1)}{6}$

Paso 2.3.1.3

Suma $18$ y $1$ .

$3 \frac{90 \cdot 19}{6}$

Paso 2.3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $90$ por $19$ .

$3 (\frac{1710}{6})$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 \frac{1710}{3 (2)}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{1710}{3 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1710}{2}$

Paso 2.3.2.3

Divide $1710$ por $2$ .

$855$

Paso 3

Evalúa $8 \sum_{k = 1}^{9} i$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(8) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1.1

Suma $9$ y $1$ .

$8 \frac{9 \cdot 10}{2}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $9$ por $10$ .

$8 (\frac{90}{2})$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{90}{2}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 4 \frac{90}{2}$

Paso 3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$4 \cdot 90$

Paso 3.3.3

Multiplica $4$ por $90$ .

$360$

Paso 4

Evalúa $\sum_{k = 1}^{9} - 5$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(- 5) (9)$

Paso 4.3

Multiplica $- 5$ por $9$ .

$- 45$

Paso 5

Suma los resultados de las sumas.

$855 + 360 - 45$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Suma $855$ y $360$ .

$1215 - 45$

Paso 6.2

Resta $45$ de $1215$ .

$1170$