Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{9} {(- \frac{1}{4})}^{i}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ y ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ de ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

Paso 2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{- \frac{1}{4}}{1}$

Paso 2.2.2.4

Divide $- \frac{1}{4}$ por $1$ .

$r = - \frac{1}{4}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $i$ en ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ .

$a = {(- \frac{1}{4})}^{1}$

Paso 3.2

Simplifica.

$a = - \frac{1}{4}$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - {(- \frac{1}{4})}^{9}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{4})}^{9})}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{4^{9}})}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{9}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{9}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{9}$ por $- 1$ .

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Paso 5.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5.1.2.3

Suma $9$ y $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $10$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5.1.4

Multiplica $\frac{1^{9}}{4^{9}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5.1.6

Eleva $4$ a la potencia de $9$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5.1.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144}{262144} + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144 + 1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5.1.9

Suma $262144$ y $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- - \frac{1}{4}$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + 1 (\frac{1}{4})}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + \frac{1}{4}}$

Paso 5.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4 + 1}{4}}$

Paso 5.2.4

Suma $4$ y $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{5}{4}}$

Paso 5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{4} (\frac{262145}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $5$ de $262145$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{5 (52429)}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4} (\frac{5 \cdot 52429}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{262144} \cdot 4)$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $4$ de $262144$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 (65536)} \cdot 4)$

Paso 5.5.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 \cdot 65536} \cdot 4)$

Paso 5.5.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$

Paso 5.6

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$ .

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Paso 5.6.1

Multiplica $\frac{52429}{65536}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{52429}{65536 \cdot 4}$

Paso 5.6.2

Multiplica $65536$ por $4$ .

$- \frac{52429}{262144}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{52429}{262144}$

Forma decimal:

$- 0.20000076 \dots$