Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 3}^{13} {(i - 3)}^{2}$

Paso 1

Simplifica la suma.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe ${(i - 3)}^{2}$ como $(i - 3) (i - 3)$ .

$(i - 3) (i - 3)$

Paso 1.2

Expande $(i - 3) (i - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$i (i - 3) - 3 (i - 3)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 (i - 3)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Multiplica $i$ por $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $i$ .

$i^{2} - 3 \cdot i - 3 i - 3 \cdot - 3$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$i^{2} - 3 i - 3 i + 9$

Paso 1.3.2

Resta $3 i$ de $- 3 i$ .

$i^{2} - 6 i + 9$

Paso 1.4

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9$

Paso 2

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $i$ sea igual a $1$ .

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 - \sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$

Paso 3

Evalúa $\sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 \sum_{k = 1}^{13} i + \sum_{k = 1}^{13} 9$

Paso 3.2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{13} i^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{13 (13 + 1) (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Paso 3.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1.1

Suma $13$ y $1$ .

$\frac{13 \cdot 14 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Paso 3.2.3.1.2

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1.2.1

Multiplica $13$ por $14$ .

$\frac{182 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Paso 3.2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $13$ .

$\frac{182 (26 + 1)}{6}$

Paso 3.2.3.1.3

Suma $26$ y $1$ .

$\frac{182 \cdot 27}{6}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.2.1

Multiplica $182$ por $27$ .

$\frac{4914}{6}$

Paso 3.2.3.2.2

Divide $4914$ por $6$ .

$819$

Paso 3.3

Evalúa $6 \sum_{k = 1}^{13} i$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 6) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Paso 3.3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1.1

Suma $13$ y $1$ .

$- 6 \frac{13 \cdot 14}{2}$

Paso 3.3.3.1.2

Multiplica $13$ por $14$ .

$- 6 (\frac{182}{2})$

Paso 3.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$2 (- 3) \frac{182}{2}$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 3 \frac{182}{2}$

Paso 3.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 3 \cdot 182$

Paso 3.3.3.3

Multiplica $- 3$ por $182$ .

$- 546$

Paso 3.4

Evalúa $\sum_{k = 1}^{13} 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 3.4.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(9) (13)$

Paso 3.4.3

Multiplica $9$ por $13$ .

$117$

Paso 3.5

Suma los resultados de las sumas.

$819 - 546 + 117$

Paso 3.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Resta $546$ de $819$ .

$273 + 117$

Paso 3.6.2

Suma $273$ y $117$ .

$390$

Paso 4

Evalúa $\sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Expande la serie para cada valor de $i$ .

$1^{2} - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Paso 4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$1 - 6 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Paso 4.2.3

Resta $6$ de $1$ .

$- 5 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Paso 4.2.4

Suma $- 5$ y $9$ .

$4 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Paso 4.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 + 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Paso 4.2.6

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$4 + 4 - 12 + 9$

Paso 4.2.7

Resta $12$ de $4$ .

$4 - 8 + 9$

Paso 4.2.8

Suma $- 8$ y $9$ .

$4 + 1$

Paso 4.2.9

Suma $4$ y $1$ .

$5$

Paso 5

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$390 - 5$

Paso 6

Resta $5$ de $390$ .

$385$